Calcolo del delta (discriminante) di un’equazione di secondo grado
MatematicaScrivi i coefficienti a, b e c dell’equazione ax² + bx + c = 0. Il calcolatore dà il delta Δ = b² − 4ac, il delta quarti, quante soluzioni reali ha l’equazione e le soluzioni reali, con i passaggi del calcolo.
Passaggi
Δ = (-5)² − 4 · 1 · 6 = 1
- Coefficienti: a = 1, b = -5, c = 6.
- Il quadrato di b è b² = (-5)² = 25 e il quadruplo di ac è 4ac = 4 · 1 · 6 = 24.
- Delta: Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1.
- Il segno del delta decide le soluzioni reali: due soluzioni reali distinte.
- Se il delta non è negativo, le soluzioni reali si ricavano da x = (−b ± √Δ) / (2a) e sono nella tabella; con un delta negativo non ce ne sono e la tabella resta vuota.
Appena tutti i dati sono validi, qui vedi ogni passaggio del calcolo.
Formula
- a
- il coefficiente di x², diverso da zero
- b
- il coefficiente di x
- c
- il termine noto, senza x
- Δ
- il delta, o discriminante, dell’equazione
- i
- l’unità immaginaria, con i² = −1
Come funziona il calcolo
In un’equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero, il delta (o discriminante) è Δ = b² − 4ac: il quadrato del coefficiente di x meno il quadruplo del prodotto degli altri due. Si chiama discriminante perché il suo segno distingue i casi. Per Treccani, quando a, b e c sono reali, se Δ è positivo le due radici sono reali e distinte, se Δ è zero coincidono in una radice doppia, se Δ è negativo sono complesse coniugate. Per x² − 5x + 6 = 0 si ha a = 1, b = −5 e c = 6: b² = 25, 4ac = 24 e Δ = 25 − 24 = 1.
Il delta entra nella formula risolutiva x = (−b ± √Δ) / (2a). Con Δ > 0 le due soluzioni sono diverse, e per x² − 5x + 6 = 0 sono (5 ± 1) / 2, cioè 2 e 3. Con Δ = 0 la radice quadrata di Δ vale zero e le soluzioni coincidono in x = −b / (2a). Con Δ < 0 nessun numero reale è la radice quadrata di Δ, quindi non ci sono soluzioni reali: nel grafico la parabola y = ax² + bx + c non tocca l’asse x, mentre con Δ > 0 lo taglia in due punti e con Δ = 0 lo tocca nel vertice. Con Δ < 0 restano però due soluzioni complesse coniugate, (−b ± i√(−Δ)) / (2a), dove i è l’unità immaginaria, con i² = −1: per x² + x + 1 = 0, che ha Δ = −3, sono (−1 ± i√3) / 2, cioè circa −0,5 ± 0,866025 i. La tabella del calcolatore elenca solo le soluzioni reali, quindi con Δ < 0 resta vuota.
Se b è un numero pari conviene la formula ridotta, che lavora con numeri più piccoli: il delta quarti è Δ/4 = (b/2)² − ac e le soluzioni sono x = (−b/2 ± √(Δ/4)) / a. Per x² − 6x + 8 = 0 si ha Δ/4 = 9 − 8 = 1 e x = 3 ± 1, cioè 2 e 4. Il segno di Δ/4 è quello di Δ, quindi vale la stessa regola sul numero di soluzioni. Il calcolatore calcola sempre il delta intero e mostra il delta quarti accanto, come controllo.
Il calcolatore tratta equazioni di secondo grado in un’incognita con coefficienti reali. Se a è zero l’equazione è di primo grado, bx + c = 0, e la formula del delta non si applica. Un delta che per l’arrotondamento dei decimali risulta quasi zero, ma che con numeri esatti sarebbe zero, è trattato come zero, così una soluzione doppia non viene scambiata per due soluzioni vicine. Per estrarre a mano la radice di Δ o controllarla c’è il calcolo della radice quadrata. Nei sistemi lineari con tante equazioni quante incognite ha un ruolo simile il determinante della matrice dei coefficienti: se è diverso da zero, il sistema ha una sola soluzione. Per calcolarlo, con matrici 2x2 e 3x3, c’è il calcolo matrice. La parola «delta» indica anche una semplice differenza, per esempio Δt tra due istanti: ne parlano le domande più sotto.
La formula
La formula nasce dal completamento del quadrato. Si moltiplica ax² + bx + c = 0 per 4a e si somma b² a entrambi i membri: (2ax + b)² = b² − 4ac. Un quadrato non è mai negativo, quindi se b² − 4ac, cioè il delta, è negativo non esiste nessun x reale; se è positivo, 2ax + b = ±√Δ e da qui si ricava x.
Le due soluzioni reali sono calcolate in modo da non perdere cifre quando una delle due è molto piccola, per esempio in x² − 1.000.000x + 1 = 0, e sono elencate in ordine crescente, anche quando a è negativo. Il risultato è in doppia precisione e mostrato con al massimo sei decimali.
Esempio di calcolo
Qual è il delta dell’equazione x² − 5x + 6 = 0?
- Coefficienti: a = 1, b = -5, c = 6.
- Delta: b² − 4ac = (-5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Il delta è positivo: due soluzioni reali distinte, x = (5 ± √1) / 2, cioè 2 e 3.
Il delta è 1, positivo: l’equazione ha due soluzioni reali distinte, x₁ = 2 e x₂ = 3.
Inserisci l’esempio nel calcolatoreDomande frequenti
Come si calcola il delta?
Con Δ = b² − 4ac: si eleva al quadrato il coefficiente b (tra parentesi se è negativo), si sottrae il quadruplo del prodotto di a e c e si guarda il segno del risultato. Per x² − 5x + 6 = 0 è (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Nel calcolatore basta scrivere a, b e c.
Qual è la formula del delta?
Δ = b² − 4ac, dove a è il coefficiente di x², b quello di x e c il termine noto dell’equazione ax² + bx + c = 0. Il delta serve nella formula risolutiva x = (−b ± √Δ) / (2a). Con b pari c’è la formula ridotta, che usa Δ/4 = (b/2)² − ac.
Che cos’è il delta e a cosa serve?
Il delta, o discriminante, è il numero b² − 4ac che si ricava dai coefficienti di un’equazione di secondo grado. Serve a sapere in anticipo quante soluzioni reali ha l’equazione, prima di calcolarle: due distinte, due coincidenti o nessuna.
A cosa serve il delta nelle equazioni di secondo grado?
Decide il tipo di soluzioni e compare sotto radice nella formula risolutiva. Se Δ > 0 la parabola y = ax² + bx + c taglia l’asse x in due punti, se Δ = 0 lo tocca nel vertice, se Δ < 0 non lo raggiunge: l’equazione ax² + bx + c = 0 non ha allora soluzioni reali.
Come si calcola il delta in modo semplice?
Porta l’equazione nella forma ax² + bx + c = 0 e leggi a, b e c con i loro segni. Poi tre passi: b², 4ac e la differenza. Per 2x² − 7x + 3 = 0 sono 49, 24 e 49 − 24 = 25: il delta è 25 e le soluzioni sono (7 ± 5) / 4, cioè 3 e 1/2.
Come calcolare il delta con la calcolatrice?
Su una calcolatrice scientifica scrivi b tra parentesi e premi il tasto del quadrato, poi sottrai 4 × a × c. Le parentesi contano: senza, −5² è letto come −(5²) = −25 dalla maggior parte delle calcolatrici. Per a = 1, b = −5, c = 6 si digita (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1. Il calcolatore qui sopra fa lo stesso e mostra i passaggi.
Cosa significa se il delta è negativo?
Che l’equazione non ha soluzioni reali: nessun numero reale la soddisfa e la parabola non tocca l’asse x. Esistono però due soluzioni complesse coniugate, (−b ± i√(−Δ)) / (2a), dove i è l’unità immaginaria (i² = −1). Per x² + x + 1 = 0 il delta è 1 − 4 = −3 e le soluzioni complesse sono (−1 ± i√3) / 2. La tabella del calcolatore elenca solo le soluzioni reali, perciò resta vuota.
Che cosa succede se a è uguale a zero?
Se a = 0 l’equazione non è più di secondo grado ma di primo, bx + c = 0, con soluzione x = −c / b quando b è diverso da zero. La formula del delta non si applica e il calcolatore chiede un valore di a diverso da zero.
Delta quarti: quando si può usare?
Quando b è un numero pari. Allora Δ/4 = (b/2)² − ac e le soluzioni sono x = (−b/2 ± √(Δ/4)) / a, con numeri più piccoli. Per x² − 6x + 8 = 0 è Δ/4 = 9 − 8 = 1 e x = 3 ± 1, cioè 2 e 4. Il calcolatore mostra sempre il delta quarti, ma è comodo solo con un b pari.
Perché si chiama «discriminante»?
Perché discrimina, cioè distingue, i casi: dal suo segno si capisce se l’equazione ha due soluzioni reali distinte, due coincidenti o nessuna reale. Treccani lo definisce, per il secondo grado, con l’espressione b² − 4ac e ricorda che il suo annullarsi è la condizione perché le due radici coincidano.
Come si calcola la regola del delta?
Se con «regola del delta» intendi il criterio per le equazioni di secondo grado, si calcola Δ = b² − 4ac e se ne guarda il segno: con Δ > 0 le soluzioni reali sono due e distinte, con Δ = 0 sono due coincidenti, x = −b / (2a), con Δ < 0 non ce ne sono.
Come si calcola il Δt?
Il Δt (delta t) è la variazione di tempo, cioè la differenza tra l’istante finale e quello iniziale: Δt = t₂ − t₁. Se un viaggio parte alle 9:30 e arriva alle 12:00, Δt è 2,5 ore. È un delta diverso dal discriminante: indica sempre «valore finale meno valore iniziale».
Come si calcola il delta tra due numeri?
Il delta tra due numeri è la loro differenza, valore finale meno valore iniziale: Δx = x₂ − x₁. Da 40 a 52 è 52 − 40 = 12, da 52 a 40 è −12. Per la variazione in percentuale si divide per il valore iniziale: 12 / 40 = 30%, con il calcolo percentuale.
Come si usa il calcolatore?
Porta l’equazione nella forma ax² + bx + c = 0 e scrivi i tre coefficienti con il loro segno, 0 se un termine manca. Leggi il delta, il tipo di soluzioni, le soluzioni reali nella tabella (vuota se il delta è negativo) e i passaggi sotto il risultato. Con «Inserisci l’esempio nel calcolatore» carichi x² − 5x + 6 = 0.
Esempio pratico: quando serve davvero il delta nella vita?
Ogni volta che un problema porta a un’equazione di secondo grado. Un campo rettangolare con perimetro di 30 m e area di 56 m² ha i lati x e 15 − x con x(15 − x) = 56, cioè x² − 15x + 56 = 0: Δ = 225 − 224 = 1 e i lati sono 7 m e 8 m. Se il delta fosse negativo, il problema non avrebbe soluzione reale.
Come si risolve un’equazione di secondo grado con il delta?
Si calcola il delta e, se non è negativo, si applica x = (−b ± √Δ) / (2a). Per 3x² + 12x − 15 = 0 è Δ = 144 + 180 = 324, √Δ = 18 e x = (−12 ± 18) / 6, cioè 1 e −5. Per le equazioni incomplete, con b = 0 o c = 0, si può anche scomporre.