Calcolo matrice: determinante, inversa e prodotto

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri disposti in righe e colonne. Una matrice con m righe e n colonne si dice di ordine m × n; se m = n è quadrata. Le matrici servono per scrivere sistemi di equazioni lineari e trasformazioni del piano e dello spazio. Questo calcolatore lavora con matrici quadrate 2x2 e 3x3.

Si dispongono i numeri in righe e colonne tra parentesi. Per esempio la matrice 2x2 (1 2; 3 4) ha come prima riga 1 e 2 e come seconda riga 3 e 4. Nel calcolatore scegli la dimensione con l’operazione (2x2 o 3x3), poi scrivi ogni elemento nel campo con la sua riga e colonna.

Con la regola di Sarrus: si sommano i prodotti delle tre diagonali che scendono da sinistra a destra (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) e si sottraggono quelli delle tre antidiagonali (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃). Per la matrice con righe (0 1 2), (3 2 1) e (1 1 0) si ottiene 7 − 4 = 3. In alternativa si può sviluppare lungo una riga o una colonna con il segno a scacchiera.

Si moltiplicano gli elementi della diagonale principale e si sottrae il prodotto dell’altra diagonale: det = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Per le righe (1 2) e (3 4) è 1 · 4 − 2 · 3 = −2. Il valore assoluto è l’area del parallelogramma costruito sui vettori colonna.

In una matrice 2x2 vale A⁻¹ = 1 / (ad − bc) · (d −b; −c a): si scambiano a e d, si cambia il segno di b e c e si divide per il determinante. Per (1 2; 3 4) viene 1/(−2) · (4 −2; −3 1) = (−2 1; 1,5 −0,5). In una 3x3 si divide per il determinante la trasposta della matrice dei cofattori; si può usare anche l’eliminazione di Gauss-Jordan.

Quando il suo determinante è zero, cioè quando è singolare. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il determinante è diverso da zero. La matrice con righe (1 2) e (2 4) ha determinante 1 · 4 − 2 · 2 = 0 e quindi non ha inversa. In quel caso il calcolatore segnala che la matrice è singolare.

Si moltiplica righe per colonne: ogni elemento del prodotto A · B è la somma dei prodotti di una riga di A per una colonna di B. L’ordine conta: in generale A · B non è uguale a B · A. Con (1 2; 3 4) · (5 6; 7 8) si ottiene (19 22; 43 50), mentre (5 6; 7 8) · (1 2; 3 4) dà (23 34; 31 46).

In Excel italiano si usano le funzioni matriciali MATR.DETERM per il determinante, MATR.INVERSA per l’inversa e MATR.PRODOTTO per il prodotto di due matrici, scrivendole come formule matriciali sull’intervallo dei risultati (nelle versioni recenti di Excel basta premere Invio). Il calcolatore dà lo stesso risultato per le matrici 2x2 e 3x3 e in più mostra i passaggi.

L’immagine di una matrice A è l’insieme dei vettori A · x al variare di x: coincide con lo spazio generato dalle colonne e la sua dimensione è il rango. Questo calcolatore non calcola il rango, ma per una matrice quadrata vale una regola semplice: se il determinante è diverso da zero l’immagine è tutto lo spazio (ℝ² o ℝ³), se è zero è più piccola.

Il determinante della matrice identità è 1 e la trasposta ha lo stesso determinante. Per il teorema di Binet det(A · B) = det A · det B. Scambiando due righe il segno cambia; con due righe uguali o una riga di zeri il determinante è zero. Sommare a una riga un multiplo di un’altra non lo cambia. In una matrice triangolare è il prodotto degli elementi della diagonale.

La regola di Sarrus vale solo per le matrici 3x3. Per ordini maggiori si sviluppa lungo una riga o una colonna (sviluppo di Laplace) oppure si porta la matrice in forma triangolare con l’eliminazione di Gauss e si moltiplica la diagonale, ricordando che ogni scambio di righe cambia il segno. Questo calcolatore si ferma alle matrici 2x2 e 3x3.

Matrici quadrate di ordine 2x2 e 3x3 con numeri reali: determinante, matrice inversa e prodotto di due matrici dello stesso ordine. Non calcola autovalori, rango, trasposta, somma né matrici più grandi.