Calcolatrice per potenze: eleva un numero a qualsiasi esponente
MatematicaInserisci la base e l’esponente: la calcolatrice per potenze mostra il risultato, anche con esponente negativo o decimale, e la tabella delle prime dieci potenze della base. Per le potenze intere molto grandi scrive tutte le cifre.
Passaggi
2^10 = 1024
- La base è 2 e l’esponente è 10: si calcola la potenza 2^10.
- Con un esponente intero positivo la base si moltiplica per se stessa tante volte quanto indica l’esponente; con esponente 0 il risultato è 1; con esponente negativo si calcola il reciproco della potenza con l’esponente opposto.
- Con un esponente non intero si usano le radici: l’esponente 0,5 equivale alla radice quadrata.
- Risultato: 2^10 = 1024.
Appena tutti i dati sono validi, qui vedi ogni passaggio del calcolo.
Formula
- a
- la base, il numero che si moltiplica per se stesso
- n
- l’esponente: quanti fattori uguali alla base si moltiplicano (un numero intero positivo)
- m
- l’indice della radice quando l’esponente è la frazione n/m
Come funziona il calcolo
Una potenza è il risultato dell’elevamento di una base a un esponente: a^n si legge «a elevato a n». Quando l’esponente è un numero naturale, la potenza è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti dice l’esponente: 2^10 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024. La prima potenza di un numero è il numero stesso, la seconda si chiama quadrato e la terza cubo, come nell’area di un quadrato e nel volume di un cubo.
Con esponente 0 la potenza vale 1, purché la base sia diversa da 0: la scrittura 0^0 non ha significato. Con un esponente intero negativo si calcola il reciproco: a^-n = 1/a^n, quindi 2^-3 = 1/8 = 0,125 (la base deve essere diversa da 0). Con un esponente razionale n/m e una base positiva, si eleva la base alla n e dal risultato si estrae la radice m-esima: 4^(-3/2) = 1/8, perché 4^-3 = 1/64 e la radice quadrata di 64 è 8. In particolare l’esponente 0,5 equivale alla radice quadrata: 9^0,5 = 3.
Nel calcolatore scrivi la base e l’esponente, con la virgola per i decimali, e scegli il risultato. «Valore decimale» mostra la potenza come numero: un risultato diverso da 0 deve stare, in valore assoluto, tra 10^-20 e 9.007.199.254.740.991 (2^53 meno 1) e ha 12 cifre significative se non è intero; con base 0 ed esponente positivo il risultato è 0. «Tutte le cifre» scrive per intero una potenza con base intera ed esponente intero da 0 in su, fino a 200 cifre, senza arrotondare: 2^64 = 18446744073709551616.
Se la base è negativa e l’esponente è intero, il risultato è negativo solo quando l’esponente è dispari: (-2)^3 = -8 e (-2)^4 = 16. Con una base negativa e un esponente non intero la potenza non è definita in modo univoco tra i numeri reali e il calcolatore mostra un errore, come con 0^0 e con 0 elevato a un esponente negativo.
Le potenze servono in molti calcoli: la crescita di un capitale a interesse composto si ottiene con una potenza, come mostra il calcolo dell’interesse composto; la radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato e la trovi nel calcolo della radice quadrata; un insieme di n elementi ha 2^n sottoinsiemi, come nel calcolo combinatorio. Sotto il risultato trovi la tabella dei quadrati e dei cubi da 1 a 20 e, con «Valore decimale», anche quella delle potenze della base che hai scelto.
La formula
Il calcolatore usa le definizioni dell’Enciclopedia della Matematica Treccani. Con base ed esponente interi moltiplica la base per se stessa tante volte quanto indica l’esponente (con esponente negativo ne fa il reciproco) e un risultato intero è esatto finché resta entro 9.007.199.254.740.991 (2^53 meno 1). Negli altri casi usa la funzione potenza dei numeri reali. Ogni risultato non intero è arrotondato a 12 cifre significative.
Con «Tutte le cifre» la potenza è calcolata con numeri interi di lunghezza qualsiasi: nessun arrotondamento, fino a 200 cifre. Il calcolatore rifiuta i casi senza valore: 0^0, che non ha significato, 0 con esponente negativo, che richiederebbe una divisione per 0, e una base negativa con esponente non intero. Con «Valore decimale» rifiuta anche i risultati diversi da 0 più piccoli di 10^-20 o più grandi di 9.007.199.254.740.991 in valore assoluto (il risultato 0, che si ha con base 0 ed esponente positivo, è valido); la tabella delle potenze si ferma prima del decimo esponente se il valore esce da questo intervallo.
Esempio di calcolo
Quanto fa 4 elevato a (-1,5)?
- L’esponente (-1,5) equivale alla frazione -3/2: la base 4 va elevata a -3 e dal risultato si estrae la radice quadrata.
- Con l’esponente negativo si passa al reciproco: 4^-3 = 1/4^3 = 1/64.
- La radice quadrata di 1/64 è 1/8: 4 elevato a (-1,5) fa 0,125.
4 elevato a (-1,5) fa 0,125: un esponente non intero si calcola con le radici (con esponente 0,5 si ottiene la radice quadrata).
Inserisci l’esempio nel calcolatoreDomande frequenti
Come si fa a calcolare le potenze?
Si moltiplica la base per se stessa tante volte quanto indica l’esponente: 3^4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Con esponente 1 il risultato è la base stessa, con esponente 0 è 1 (se la base non è 0) e con esponente negativo è il reciproco: 3^-2 = 1/9. Nel calcolatore scrivi base ed esponente e leggi subito il risultato.
Come si fa a calcolare la potenza di un numero?
Il numero è la base e si moltiplica per se stesso tante volte quanto dice l’esponente: la potenza di 5 con esponente 3 è 5 · 5 · 5 = 125. Questa pagina riguarda la potenza come operazione matematica; la potenza elettrica in watt o quella di un motore sono grandezze fisiche diverse, con altre formule.
Quanto fa 4 alla potenza di 2?
4 alla potenza di 2 fa 16: è il quadrato di 4, cioè 4 · 4 = 16. Con esponente 3 si ottiene il cubo, 4 · 4 · 4 = 64. Allo stesso modo 2 alla potenza 3 fa 8: è il cubo di 2, cioè 2 · 2 · 2 = 8. Per altre potenze scrivi nel calcolatore la base e l’esponente che ti servono.
Cos’è un esponente negativo?
È un esponente che chiede il reciproco: a^-n = 1/a^n, con a diverso da 0. Quindi 2^-3 = 1/2^3 = 1/8 = 0,125 e 10^-2 = 1/100 = 0,01. Con una base positiva il risultato resta positivo e, se la base è maggiore di 1, è minore di 1.
A cosa servono le potenze nella vita quotidiana?
Le potenze servono più spesso di quanto sembri: l’interesse composto di un risparmio cresce con (1 + tasso)^anni, le superfici si misurano in metri quadrati e i volumi in metri cubi, i numeri molto grandi o molto piccoli si scrivono con le potenze di 10 e in informatica ricorrono le potenze di 2 (2^10 = 1024). Puoi utilizzare questo strumento per controllare un calcolo fatto a mano o per un esercizio.
Quanto fa un numero elevato a 0 e a 1?
Un numero diverso da 0 elevato a 0 fa 1: 7^0 = 1, (-3)^0 = 1, 0,5^0 = 1. Elevato a 1 resta uguale a se stesso: 7^1 = 7. La scrittura 0^0 invece non ha significato e il calcolatore la rifiuta.
Come si calcola una potenza con base negativa?
Con esponente intero si moltiplica la base per se stessa: il risultato è negativo solo se l’esponente è dispari, perché due segni meno si annullano. Quindi (-2)^3 = -8 e (-2)^4 = 16. Con un esponente non intero la potenza di una base negativa non è definita in modo univoco tra i numeri reali e il calcolatore mostra un errore.
Come si calcola una potenza con esponente decimale o frazionario?
Con una base positiva, l’esponente frazionario n/m significa: si eleva la base alla n e si estrae la radice m-esima. L’esempio di Treccani è 4^(-3/2) = 1/8, perché 4^-3 = 1/64 e la radice quadrata di 64 è 8. L’esponente 0,5 è la radice quadrata: 9^0,5 = 3. Nel calcolatore scrivi la frazione in forma decimale: 3/2 diventa 1,5.
Quali sono le proprietà delle potenze?
Con la stessa base, le potenze si moltiplicano sommando gli esponenti, si dividono sottraendoli e si elevano a un’altra potenza moltiplicandoli: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128, 2^5 / 2^2 = 2^3 = 8, (2^3)^2 = 2^6 = 64. Con lo stesso esponente, (2 · 3)^2 = 2^2 · 3^2 = 36. Puoi controllare ogni passaggio con il calcolatore.
Dove trovo la tabella per calcolare le potenze?
Sotto il calcolatore trovi sempre la tabella fissa dei quadrati e dei cubi dei numeri da 1 a 20: per esempio 12^2 = 144 e 12^3 = 1728. Con «Valore decimale» c’è anche la tabella delle potenze della base che hai inserito, con esponente da 1 a 10, che si ferma prima se il risultato esce dall’intervallo del calcolatore.
Come si calcola una potenza molto grande, come 2 elevato a 64?
Scegli «Tutte le cifre»: con base intera ed esponente intero da 0 in su il calcolatore scrive il risultato per intero, senza arrotondare. 2^64 fa 18446744073709551616 (20 cifre) e 2^100 fa 1267650600228229401496703205376 (31 cifre). Il limite è di 200 cifre; con una base o un esponente decimale vale invece «Valore decimale».
Perché il calcolatore dà un errore con numeri molto grandi o molto piccoli?
Il «Valore decimale» accetta risultati diversi da 0 tra 10^-20 e 9.007.199.254.740.991 (2^53 meno 1) in valore assoluto, e il risultato 0 è sempre valido: oltre quel limite i numeri a doppia precisione non rappresentano più tutte le cifre di un intero. Per un risultato intero più grande scegli «Tutte le cifre»; per numeri molto grandi o piccoli e non interi si usa la notazione scientifica, con le potenze di 10.
- Potenza, Enciclopedia della Matematica (Treccani)
- Potenza (matematica) (Wikipedia)
- Notazione scientifica (Wikipedia)
- IEEE 754, lo standard dei numeri in virgola mobile (Wikipedia)