Calcolo proporzioni (regola del tre diretta e inversa)
MatematicaInserisci i tre termini noti e scegli se la proporzionalità è diretta o inversa. Il calcolatore trova il termine incognito x e mostra tutti i passaggi del calcolo.
Passaggi
1,5 / 3 · 5 = 2,5
- Proporzionalità diretta: se una grandezza raddoppia, raddoppia anche l’altra.
- Valore di un’unità: 1,5 / 3 = 0,5.
- Moltiplicato per la nuova quantità: 0,5 · 5 = 2,5.
Appena tutti i dati sono validi, qui vedi ogni passaggio del calcolo.
Formula
- a
- primo termine, la quantità nota
- b
- termine che corrisponde ad a
- c
- nuova quantità
- x
- termine incognito, che corrisponde a c
Come funziona il calcolo
Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti, a : b = c : x: a e c sono gli antecedenti, b e x i conseguenti. Se conosci tre termini, il quarto, detto quarto proporzionale, si trova con la regola del tre semplice. Per la proprietà fondamentale delle proporzioni il prodotto dei medi (b e c) è uguale al prodotto degli estremi (a e x), quindi a · x = b · c e x = b · c / a. In pratica si moltiplicano tra loro b e c e si divide per a.
Nella proporzionalità diretta il rapporto tra le due grandezze resta costante: il doppio delle mele costa il doppio. Nella proporzionalità inversa a restare costante è il prodotto, a · b = c · x: il doppio degli operai impiega la metà del tempo. Per scegliere prova a raddoppiare una delle due grandezze: se raddoppia anche l’altra, la proporzionalità è diretta; se l’altra si dimezza, è inversa. Se non succede né l’una né l’altra cosa, come per un prezzo con una quota fissa, la regola del tre non si può usare.
Con «Proporzionalità diretta» il calcolatore trova l’ultimo termine di a : b = c : x. Se l’incognita sta in un altro posto, usa comunque questa modalità: metti come a l’altro termine dello stesso tipo dell’incognita (l’altro estremo se x è un estremo, l’altro medio se x è un medio) e come b e c i due rimanenti, in qualsiasi ordine. Per x : 6 = 10 : 4 la x è un estremo e l’altro estremo è 4: a = 4, b = 6, c = 10 e x = 6 · 10 / 4 = 15. La regola del tre composta, con più di due grandezze, si risolve in più passaggi, uno per ogni coppia di grandezze. Per le percentuali c’è il calcolo percentuale, per le operazioni tra frazioni il calcolo frazioni e per le misure su un disegno in scala il convertitore di scala.
La formula
Nella proporzionalità diretta il rapporto resta costante: a : b = c : x. La proprietà fondamentale dà a · x = b · c, quindi x = b · c / a. Puoi arrivarci anche passando dall’unità: b / a è il valore di un’unità, da moltiplicare per c.
Nella proporzionalità inversa resta costante il prodotto: a · b = c · x, per esempio il lavoro totale, dato da operai per giorni. Si divide questo prodotto per la nuova quantità c.
Esempio di calcolo
Una ricetta per 4 persone richiede 320 g di pasta: quanta ne serve per 6 persone?
- Con il doppio delle persone serve il doppio della pasta, quindi le due grandezze sono direttamente proporzionali.
- Come proporzione: 4 : 320 = 6 : x, quindi x = 320 · 6 / 4.
- Pasta per una persona: 320 g / 4 = 80 g.
- Per 6 persone: 80 g · 6 = 480 g. Servono quindi 480 g di pasta.
4 sta a 320 come 6 sta a 480.
Inserisci l’esempio nel calcolatoreDomande frequenti
Come si calcola una proporzione?
Scrivi la proporzione a : b = c : x e applica la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Da a · x = b · c ricavi x = b · c / a. Con a = 3, b = 1,50 e c = 5 ottieni x = 1,50 · 5 / 3 = 2,50: se 3 mele costano 1,50 €, 5 mele costano 2,50 €.
Come si risolve una proporzione con l’incognita?
Scegli «Proporzionalità diretta», metti come a l’altro termine dello stesso tipo dell’incognita, cioè l’altro estremo se x è un estremo e l’altro medio se x è un medio, e come b e c gli altri due. Per x : 6 = 10 : 4 l’altro estremo è 4: inserisci a = 4, b = 6 e c = 10 e ottieni x = 6 · 10 / 4 = 15. Per 3 : x = 6 : 8 la x è un medio e l’altro medio è 6: a = 6, b = 3, c = 8 e x = 3 · 8 / 6 = 4.
Quali formule servono per le proporzioni?
Per la proporzionalità diretta x = b · c / a, che viene da a : b = c : x. Per la proporzionalità inversa x = a · b / c, perché il prodotto a · b resta costante. Sono le due formule che usa il calcolatore; i passaggi mostrano i numeri del tuo calcolo.
Come adatto le dosi degli ingredienti di una ricetta con una proporzione?
Le quantità sono proporzionali al numero di persone. Se la ricetta per 4 persone richiede 320 g di pasta, per 6 persone servono 320 · 6 / 4 = 480 g. Con «Proporzionalità diretta» inserisci 4, 320 e 6 e ripeti il calcolo per ogni ingrediente; per uova e altri ingredienti interi arrotonda poi al numero più vicino.
Quando si usa la proporzionalità inversa?
Quando raddoppiando una grandezza l’altra si dimezza: numero di operai e durata di un lavoro, velocità e tempo di viaggio, numero di persone e durata di una scorta. Se 4 operai impiegano 6 giorni, 3 operai impiegano 4 · 6 / 3 = 8 giorni: scegli «Proporzionalità inversa» e inserisci 4, 6 e 3.
Come si calcola una percentuale con una proporzione?
Il totale corrisponde a 100. Per il 15% di 200 scrivi 100 : 15 = 200 : x, quindi x = 15 · 200 / 100 = 30. Con «Proporzionalità diretta» inserisci a = 100, b = 15 e c = 200. Per le percentuali c’è anche il calcolo percentuale.
Che cos’è il prodotto in croce?
È il metodo per verificare o risolvere un’uguaglianza tra due rapporti o due frazioni: a / b = c / d è vera se a · d = b · c. È la proprietà fondamentale delle proporzioni e permette di trovare un termine mancante: da a · x = b · c segue x = b · c / a.
Il calcolatore risolve anche la regola del tre composta?
No, tratta due grandezze alla volta. Una regola del tre composta, con tre o più grandezze, si risolve con più calcoli in sequenza: il risultato del primo diventa un dato del successivo, controllando ogni volta se la proporzionalità è diretta o inversa.
- Proporzione (Treccani, Enciclopedia della Matematica)
- Regola del tre (matematica) (Wikipedia)
- Proporzionalità (matematica) (Wikipedia)