Come si calcola l’area del triangolo: lati, angoli e altezze
MatematicaIndica che cosa conosci del triangolo: tre lati, due lati e l’angolo compreso oppure un lato e i due angoli adiacenti. Il calcolatore trova l’area e completa lati, angoli, altezze e perimetro.
Passaggi
A = 1/2 · 4 · 5 · sen 36,8699° = 6
- Angoli con il teorema del coseno, per esempio cos α = (b² + c² − a²) / (2 · b · c): α = 36,8699°, β = 53,1301° e γ = 90°. Il triangolo è rettangolo.
- Area: A = 1/2 · 4 · 5 · sen 36,8699° = 6, lo stesso valore della formula di Erone. Perimetro: 3 + 4 + 5 = 12.
- Altezze, con h = 2 · A / lato: relativa al lato a 4, al lato b 3, al lato c 2,4.
Appena tutti i dati sono validi, qui vedi ogni passaggio del calcolo.
Formula
- a, b, c
- lati del triangolo
- α, β, γ
- angoli opposti ai lati a, b e c, la cui somma è 180°
- A
- area
- h
- altezza relativa alla base b, cioè la distanza perpendicolare tra la base e il vertice opposto
- ha
- altezza relativa al lato a, cioè la distanza perpendicolare tra quel lato e il vertice opposto
- p
- semiperimetro, cioè metà del perimetro
Come funziona il calcolo
La formula più nota per l’area di un triangolo è base per altezza diviso 2: A = b · h / 2. L’altezza è la distanza perpendicolare tra la base e il vertice opposto, quindi un triangolo con base 6 cm e altezza 4 cm ha un’area di 6 · 4 / 2 = 12 cm². Se conosci già base e altezza ti basta questa formula, oppure la forma «Triangolo» del calcolo area. Questo calcolatore serve quando l’altezza non ce l’hai: parte dai lati e dagli angoli e la ricava da solo.
Tre dati ben scelti bastano a definire un triangolo. Con tre lati il calcolatore ricava gli angoli con il teorema del coseno (in Italia detto anche teorema di Carnot) e poi l’area, che coincide con quella della formula di Erone. Con due lati e l’angolo compreso calcola prima il terzo lato con lo stesso teorema. Con un lato e i due angoli adiacenti il terzo angolo si ottiene dalla somma degli angoli interni, 180°, e il teorema dei seni dà gli altri due lati. Da qui arrivano area, perimetro e le tre altezze.
Le notazioni sono quelle della scuola: il lato a è opposto all’angolo α, b a β e c a γ. Non tutti i dati formano un triangolo: ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e due angoli devono sommare meno di 180°, altrimenti compare un messaggio al posto del risultato. Per il triangolo rettangolo inserisci i due cateti come b e c con α = 90°; per l’isoscele e l’equilatero scegli «Tre lati» e ripeti le misure uguali. Per la pendenza di un lato rispetto all’orizzontale, per esempio in un tetto a falde, c’è il calcolo pendenza; per il cerchio il calcolo di circonferenza e area del cerchio.
La formula
Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora: se α è retto, cos α vale zero e resta a² = b² + c². Il teorema dei seni dice che il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è lo stesso per i tre lati.
Il calcolatore ricava l’area da due lati e dall’angolo compreso, 1/2 · b · c · sen α. È lo stesso valore di base per altezza diviso 2, perché c · sen α è proprio l’altezza relativa al lato b, e con tre lati coincide con la formula di Erone. Gli angoli sono in gradi; l’area è espressa nell’unità dei lati al quadrato.
Esempio di calcolo
Un triangolo con lati 3, 4 e 5: quanto vale l’area?
- Angolo γ con il teorema del coseno: cos γ = (3² + 4² − 5²) / (2 · 3 · 4) = 0, quindi γ = 90°. Il triangolo è rettangolo.
- Gli altri angoli sono α = 36,8699° e β = 53,1301°.
- Area: A = 1/2 · 4 · 5 · sen α = 6, che è anche 3 · 4 / 2, cioè il prodotto dei due cateti diviso 2. Perimetro: 12; altezza relativa al lato c: 2,4.
Il triangolo di lati 3, 4 e 5 ha un’area di 6 ed è rettangolo.
Inserisci l’esempio nel calcolatoreDomande frequenti
Come si trova l’area di un triangolo?
Moltiplica la base per l’altezza e dividi per 2. L’altezza deve essere perpendicolare alla base scelta: un triangolo con base 6 cm e altezza 4 cm misura 6 · 4 / 2 = 12 cm². Si divide per 2 perché il triangolo occupa metà del rettangolo con la stessa base e la stessa altezza.
Come si calcola l’area di un triangolo se si conoscono i tre lati?
Usa la formula di Erone: calcola il semiperimetro p = (a + b + c) / 2, poi A = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c)). Con lati di 5, 6 e 7 cm: p = 9 e A = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216, circa 14,70 cm². Il calcolatore fa lo stesso conto con «Tre lati» e mostra anche angoli, altezze e perimetro.
Quali sono le formule principali del triangolo?
L’area è base per altezza diviso 2, il perimetro è la somma dei tre lati e gli angoli interni sommano sempre 180°. Con i tre lati l’area si calcola anche con la formula di Erone. Negli altri casi servono il teorema del coseno, a² = b² + c² − 2bc · cos α, e il teorema dei seni, a / sen α = b / sen β = c / sen γ. Nel triangolo rettangolo vale anche il teorema di Pitagora.
Come si calcola l’area del triangolo rettangolo?
Moltiplica i due cateti, cioè i lati che formano l’angolo retto, e dividi per 2: uno fa da base e l’altro da altezza. Con cateti di 3 cm e 4 cm l’area è 3 · 4 / 2 = 6 cm². L’ipotenusa, il lato più lungo, non serve. Nel calcolatore scegli «Due lati e l’angolo compreso» e inserisci i cateti come b e c con α = 90°.
Come si calcola l’area del triangolo isoscele?
L’altezza relativa alla base cade a metà della base. Con base 6 cm e lati uguali di 5 cm l’altezza è √(5² − 3²) = 4 cm per il teorema di Pitagora e l’area è 6 · 4 / 2 = 12 cm². Nel calcolatore scegli «Tre lati» e inserisci 6, 5 e 5.
Come si calcola l’area del triangolo equilatero?
Se il lato misura l, l’area è A = l² · √3 / 4, cioè circa 0,433 · l². Per un lato di 10 cm l’area è 100 · √3 / 4, circa 43,30 cm². Nel calcolatore scegli «Tre lati» e inserisci tre volte la stessa misura: gli angoli risultano di 60°.
Come si calcola l’area del triangolo scaleno?
Il triangolo scaleno ha i tre lati diversi. Se conosci base e altezza usa b · h / 2, se conosci i tre lati la formula di Erone, se conosci due lati e l’angolo compreso 1/2 · b · c · sen α. Il calcolatore copre gli ultimi due casi e anche quello con un lato e due angoli.
Come si calcola l’area di un triangolo in m²?
Misura base e altezza in metri: il risultato di base per altezza diviso 2 è già in m². Il frontone triangolare di un tetto largo 8 m e alto 3 m misura 8 · 3 / 2 = 12 m². Se le misure sono in centimetri, dividi l’area in cm² per 10.000.
Come si spiega l’area del triangolo ai bambini?
Parti dal rettangolo: tagliato lungo una diagonale dà due triangoli rettangoli uguali, ciascuno grande la metà. Lo stesso vale per ogni triangolo: due copie uguali, una ruotata di mezzo giro, formano un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza. Per questo l’area è base per altezza diviso 2.
Come si calcolano la base o l’altezza partendo dall’area?
Si usano le formule inverse: base = 2 · A / h e altezza = 2 · A / b. Con A = 12 cm² e altezza 4 cm la base è 2 · 12 / 4 = 6 cm. Il calcolatore mostra le tre altezze di un triangolo di cui conosci i lati, ciascuna con h = 2 · A / lato.
Come si capisce se un triangolo è rettangolo?
Controlla se il quadrato del lato più lungo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due (inverso del teorema di Pitagora). Con 3, 4 e 5 si ha 9 + 16 = 25: il triangolo è rettangolo. Il calcolatore indica il tipo di triangolo in base all’angolo più grande: acutangolo, rettangolo o ottusangolo.
Perché i lati 1, 2 e 3 non formano un triangolo?
Ogni lato deve essere minore della somma degli altri due: è la disuguaglianza triangolare. Qui 1 + 2 = 3 esattamente, i tre punti sono allineati e l’area sarebbe nulla.
- Triangolo (Treccani)
- Formula di Erone (Wikipedia)
- Teorema del coseno (Wikipedia)
- Teorema dei seni (Wikipedia)