Calcolo del coefficiente angolare di una retta

Come funziona il calcolo

Il coefficiente angolare di una retta, indicato con m, dice di quanto cambia y quando x aumenta di 1: è la pendenza della retta nel piano cartesiano. Per la retta che passa per due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) vale m = (yB − yA) / (xB − xA), purché la retta non sia parallela all’asse delle ordinate. Se percorrendo la retta da sinistra a destra si sale, m è positivo; se si scende è negativo; una retta orizzontale ha m = 0.

L’intercetta q è il valore di y quando x = 0, cioè il punto in cui la retta taglia l’asse delle ordinate. Per trovarla si sostituiscono nell’equazione y = mx + q le coordinate di uno dei due punti: q = yA − m · xA. L’equazione che ne risulta, y = mx + q, è la forma esplicita della retta. Alcuni libri scrivono y = ax + b: è la stessa equazione con altre lettere, quindi la regola vale anche per chi si chiede come si calcola b.

L’angolo della retta con l’asse delle ascisse si ricava dal coefficiente angolare, con gli assi in scala uguale: m = tan θ, quindi θ = arctan(m). Il calcolatore mostra questo angolo con segno, compreso tra −90° e +90°: positivo se la retta sale, negativo se scende. Con m = 1 è di 45°, con m = 2 di circa 63,43° e con m = −1 di −45°. Nei testi di geometria analitica l’angolo di inclinazione α si misura invece dal semiasse positivo delle ascisse fino alla parte di retta che sta nel semipiano superiore, e va da 0° a 180° (180° escluso): per una retta che sale, o è orizzontale, coincide con θ; per una retta che scende è un angolo ottuso, α = 180° + θ. Con m = −1 si ha quindi θ = −45° e α = 135°.

Se xA = xB la retta è verticale: il coefficiente angolare non esiste, l’equazione è x = xA e il calcolatore lo segnala. Due punti uguali, infine, non determinano nessuna retta.

Se i punti sono più di due, in Excel la funzione PENDENZA(y_nota; x_nota) dà il coefficiente angolare della retta di regressione lineare (ai minimi quadrati) e INTERCETTA(y_nota; x_nota) la sua intercetta; questa retta coincide con quella per i punti solo se sono tutti allineati. Con due punti dalle ascisse diverse il risultato è lo stesso di questo calcolatore. Per la pendenza in percentuale di una strada, di un tetto o di una rampa c’è il calcolo della pendenza; per la distanza tra due punti il teorema di Pitagora; per una variazione in percentuale il calcolo percentuale.

La formula

Con A(1; 3) e B(4; 9) la differenza delle ordinate è 9 − 3 = 6 e quella delle ascisse 4 − 1 = 3, quindi m = 6 / 3 = 2. L’intercetta è q = 3 − 2 · 1 = 1 e l’equazione y = 2x + 1. Il punto B la verifica: 2 · 4 + 1 = 9. Il risultato non dipende dall’ordine dei punti: scambiando A e B cambiano segno entrambe le differenze, ma non il loro rapporto.

Due rette non verticali con lo stesso coefficiente angolare sono parallele. In un riferimento cartesiano ortogonale monometrico, cioè con la stessa unità sui due assi, due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1. Il calcolatore mostra i numeri con al massimo quattro decimali.

L’angolo θ = arctan(m) è in gradi e sta tra −90° e +90°: positivo se la retta sale, negativo se scende. Per una retta che scende l’angolo di inclinazione α dei testi di geometria analitica, da 0° a 180°, è α = 180° + θ. Con A(2; 5) e B(6; 1) si ha m = (1 − 5) / (6 − 2) = −1, quindi θ = −45° e α = 180° + (−45°) = 135°.