Calcolare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con Pitagora

Si elevano al quadrato i due cateti, si sommano i risultati e si estrae la radice quadrata: c = √(a² + b²). Con i cateti 6 e 8 si ha c = √(36 + 64) = √100 = 10, con 3 e 4 si ha c = 5. Nel calcolatore scegli «Ipotenusa c» e inserisci a e b.

La misura dell’ipotenusa è la radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti. Se i cateti sono 5 e 12 centimetri, c = √(25 + 144) = √169 = 13 centimetri. Quando i cateti non danno un quadrato perfetto il risultato è decimale: con 1 e 1 si ottiene √2 ≈ 1,4142, la diagonale del quadrato unitario.

Dal quadrato dell’ipotenusa si sottrae il quadrato del cateto noto e si estrae la radice: a = √(c² − b²). Con c = 13 e b = 12 si ha a = √(169 − 144) = 5. Nel calcolatore scegli «Cateto a» o «Cateto b». L’ipotenusa deve essere maggiore del cateto noto, altrimenti il triangolo non esiste.

Le principali sono il teorema di Pitagora a² + b² = c², l’area A = a · b / 2 e il perimetro a + b + c. L’altezza relativa all’ipotenusa vale h = a · b / c. I teoremi di Euclide danno a² = p · c, b² = q · c e h² = p · q. Con le funzioni trigonometriche: sen α = a / c, cos α = b / c e tan α = a / b.

L’altezza relativa all’ipotenusa è il prodotto dei cateti diviso l’ipotenusa: h = a · b / c. Il motivo è che l’area si può scrivere sia a · b / 2 sia c · h / 2. Con i lati 3, 4 e 5 si ottiene h = 12 / 5 = 2,4. Il calcolatore mostra h tra i risultati per qualunque coppia di lati.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti: a² + b² = c². Vale anche il contrario: se tre lati soddisfano questa uguaglianza, il triangolo ha un angolo retto. Per questo con i lati 3, 4 e 5 si può controllare se un angolo è retto.

Il primo teorema di Euclide dice che un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione su di essa: a² = p · c e b² = q · c. Il secondo dice che l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti: h² = p · q. Il calcolatore mostra p, q e h per ogni triangolo.

Con la tangente: tan α = a / b, quindi α è l’arcotangente di a / b. Con i cateti 3 e 4 si ottiene α = 36,87° e β = 53,13°. I due angoli acuti sono complementari, perché sommano 90°. Il calcolatore li mostra in gradi per qualunque coppia di lati.

È una terna di numeri naturali a, b, c con a² + b² = c². Le più piccole terne primitive, cioè senza fattori comuni, sono (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) e (20, 21, 29). Anche i multipli, come (6, 8, 10), sono terne pitagoriche. Con una corda divisa in 12 parti uguali si può formare un triangolo 3, 4, 5 e tracciare un angolo retto.

Il teorema di Pitagora non basta: con due lati e l’angolo compreso serve il teorema del coseno, con un lato e due angoli quello dei seni. Entrambi i casi sono nel calcolo dell’area del triangolo. Nel triangolo rettangolo il coseno dell’angolo retto è zero e il teorema del coseno diventa proprio quello di Pitagora.

Il calcolatore non ha un’unità fissa: puoi usare centimetri, metri o pollici, purché per tutti i lati sia la stessa. L’area risulta nella corrispondente unità quadrata. I calcoli usano la precisione piena e i risultati sono mostrati con quattro decimali.