Calcolo della probabilità: formule ed esempi svolti
MatematicaScegli il tipo di calcolo e inserisci i dati: il calcolatore mostra la probabilità in percentuale, come frazione e come numero tra 0 e 1, con la formula applicata e un esempio svolto.
Passaggi
1 / 6 = 16,666667%
- Casi favorevoli: 1. Casi possibili: 6.
- Probabilità = casi favorevoli / casi possibili = 1 / 6 = 0,166667, in forma di frazione ridotta 1/6.
- In percentuale: 0,166667 · 100 = 16,666667%.
- Probabilità del contrario: 100% − 16,666667% = 83,333333%.
Appena tutti i dati sono validi, qui vedi ogni passaggio del calcolo.
Formula
- P
- la probabilità: un numero tra 0 e 1, che moltiplicato per 100 dà la percentuale
- E, A, B
- gli eventi: E è un evento qualsiasi, A e B sono due eventi
- X
- il numero di successi nelle n prove
- n, k
- n è il numero di prove e k il numero di successi
- p
- la probabilità di successo in una singola prova
- C
- il coefficiente binomiale C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), cioè le combinazioni di k elementi su n
Come funziona il calcolo
La probabilità misura quanto è possibile che un evento casuale si verifichi ed è un numero tra 0 e 1: 0 per l’evento impossibile, 1 per l’evento certo. Con la definizione classica la probabilità di un evento è il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, se tutti sono ugualmente possibili: con un dado perfetto la probabilità di ottenere 2 è 1/6, perché i casi possibili sono 6 e quello favorevole è 1. Per averla in percentuale si moltiplica per 100: 1/6 è il 16,67%. È il primo calcolo del calcolatore, «Un evento», che mostra anche la frazione ridotta ai minimi termini e la probabilità del contrario, cioè che l’evento non avvenga.
Con due eventi A e B contano le relazioni tra loro. Se sono indipendenti, cioè il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità dell’altro, la probabilità che avvengano entrambi è il prodotto P(A) · P(B): un dado che dà 6 e una moneta che dà Testa, (1/6) · (1/2) = 1/12. La probabilità che avvenga almeno uno dei due è P(A) + P(B) − P(A e B). Se sono incompatibili, cioè non possono verificarsi insieme, la probabilità che avvenga uno dei due è la somma P(A) + P(B). In questi due calcoli inserisci le probabilità di A e di B in percentuale.
Con più prove ripetute si parte dalla probabilità p di un evento in una singola prova, data come casi favorevoli su casi possibili, e da quante prove n si fanno, tutte indipendenti. La probabilità di ottenere esattamente k successi è data dalla distribuzione binomiale, C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Il calcolatore dà anche la probabilità di almeno k e di al massimo k successi, il valore atteso n · p e la tabella dei primi valori di k. Con 4 lanci di un dado la probabilità di ottenere almeno un 6 è 1 − (5/6)^4, cioè il 51,77%.
Il calcolatore lavora in percentuale, con al massimo 6 decimali, e rifiuta i dati impossibili: più casi favorevoli che possibili, due eventi incompatibili con probabilità che sommate superano il 100% e più successi che prove. Quando i casi da contare sono molti, come al SuperEnalotto, puoi contarli con il calcolo combinatorio e inserire il totale tra i casi possibili. Per trasformare una probabilità in frazione o in percentuale ci sono anche il calcolo delle frazioni e il calcolo percentuale.
La formula
Le formule sono quelle dell’Enciclopedia della Matematica Treccani. Nel calcolo «Un evento» il calcolatore divide i casi favorevoli per i casi possibili e moltiplica per 100; la frazione è ridotta dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore e la probabilità del contrario è (casi possibili − casi favorevoli) / casi possibili.
Con due eventi indipendenti calcola P(A e B) = P(A) · P(B), P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B), la probabilità che non avvenga nessuno dei due, (1 − P(A)) · (1 − P(B)), e quella che ne avvenga esattamente uno, P(A o B) − P(A e B). Con due eventi incompatibili P(A e B) vale 0, quindi P(A o B) = P(A) + P(B), che non può superare il 100%.
Con più prove ripetute calcola P(X = k) con p = casi favorevoli / casi possibili. La probabilità di almeno k successi è la somma dei termini da k a n, quella di al massimo k successi la somma dei termini da 0 a k, e il valore atteso è n · p. Il calcolo è in doppia precisione e funziona fino a 1000 prove.
Esempio di calcolo
Almeno un 6 in 4 lanci di un dado
- In ogni lancio la probabilità di ottenere 6 è 1/6 = 16,666667%.
- La probabilità di non ottenere mai 6 in 4 lanci è (5/6)^4 = 0,4823.
- La probabilità di almeno un 6 è il suo contrario: 1 − 0,4823 = 0,5177, cioè 51,774691%. Il calcolatore dà lo stesso valore con k = 1: è la voce «almeno k successi».
Con p = 1/6 per prova, n = 4 e k = 1: esattamente k successi 38,580247%, almeno k successi 51,774691%, al massimo k successi 86,805556%.
Inserisci l’esempio nel calcolatoreDomande frequenti
Come si calcola la probabilità?
Con la definizione classica la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché siano tutti ugualmente possibili: con un dado perfetto la probabilità di ottenere 2 è 1/6, perché i casi possibili sono 6 e quello favorevole è 1. Il risultato è sempre un numero tra 0, evento impossibile, e 1, evento certo. Inserisci i due numeri nel calcolatore per averlo anche in percentuale.
Come si calcola la probabilità in percentuale?
Si divide il numero dei casi favorevoli per quello dei casi possibili e si moltiplica per 100: 1 caso su 6 è 1/6 = 0,1667, cioè il 16,67%. Al contrario, per passare dalla percentuale alla probabilità si divide per 100: il 25% è 0,25, cioè 1/4. Nel calcolatore la probabilità compare già in percentuale, in frazione ridotta e come numero tra 0 e 1.
Quali sono le formule principali della probabilità?
Probabilità classica: P(E) = casi favorevoli / casi possibili. Evento contrario: P(non E) = 1 − P(E). Eventi incompatibili: P(A o B) = P(A) + P(B). In generale: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B). Eventi indipendenti: P(A e B) = P(A) · P(B). Prove ripetute: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Le trovi nella sezione Formula e il calcolatore le applica.
Quali sono i tre tipi di probabilità?
Sono tre modi di intendere la probabilità. Quella classica, o a priori, è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, se tutti ugualmente possibili. Quella frequentista, o a posteriori, è il limite a cui tende la frequenza relativa dell’evento quando le prove aumentano. Quella soggettiva, di De Finetti, è il grado di fiducia di un individuo coerente nel verificarsi dell’evento. Le regole di calcolo sono sostanzialmente le stesse per tutte e tre.
Quali sono le regole per calcolare la probabilità?
Una probabilità è sempre compresa tra 0 e 1: 0 per l’evento impossibile, 1 per l’evento certo. La probabilità che un evento non avvenga è 1 meno quella che avvenga. Per due eventi incompatibili, che non possono verificarsi insieme, si sommano le probabilità; per due eventi indipendenti si moltiplicano. Se gli eventi non sono incompatibili, alla somma si sottrae la probabilità che avvengano insieme.
Come si calcola la probabilità di due eventi?
Dipende da come sono legati. Con due eventi indipendenti la probabilità che avvengano entrambi è il prodotto: 20% · 50% = 10%; che ne avvenga almeno uno è 20% + 50% − 10% = 60%. Con due eventi incompatibili la probabilità che avvenga uno dei due è la somma: 20% + 50% = 70%. Scegli «Eventi indipendenti» o «Eventi incompatibili» nel calcolatore.
Che differenza c’è tra eventi indipendenti e incompatibili?
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità dell’altro, come un dado e una moneta lanciati insieme: la probabilità di 6 e Testa è 1/6 · 1/2 = 1/12. Sono incompatibili quando non possono verificarsi insieme, come «numero minore di 3» e «numero maggiore di 4» nel lancio di un dado: la probabilità che avvenga uno dei due è 2/6 + 2/6 = 2/3.
Come si calcola la probabilità di ottenere almeno un 6 in 4 lanci di un dado?
Si passa dall’evento contrario: la probabilità di non ottenere 6 in un lancio è 5/6, in 4 lanci è (5/6)^4 = 0,4823, quindi almeno un 6 ha probabilità 1 − 0,4823 = 0,5177, cioè il 51,77%. È il problema del cavaliere di Méré. Nel calcolatore scegli «Più prove» con 1 caso favorevole su 6, 4 prove e k = 1, e leggi «almeno k successi».
Come si usa il calcolo combinatorio per la probabilità?
Quando i casi sono troppi per contarli a mano, si contano con le combinazioni. Al SuperEnalotto si scelgono 6 numeri su 90 e l’ordine non conta, quindi i casi possibili sono C(90, 6) = 622.614.630 e la probabilità di indovinarli tutti è 1/622.614.630. Calcola quanti sono i casi con il calcolo combinatorio e inseriscili qui come casi possibili.