Calcolatore del minimo comune multiplo (mcm) e del MCD

Il mcm, minimo comune multiplo, di più numeri interi è il più piccolo numero positivo che è multiplo di tutti. In inglese si chiama lcm, da least common multiple. Il mcm di 4 e 6 è 12, perché 12 è il primo numero che compare sia tra i multipli di 4 sia tra quelli di 6.

Si scompone ogni numero in fattori primi e si moltiplicano tutti i primi che compaiono, ciascuno con l’esponente più grande. Per 20 = 2² · 5 e 30 = 2 · 3 · 5 il mcm è 2² · 3 · 5 = 60. Per il MCD, invece, si tengono solo i primi presenti in tutti i numeri, con l’esponente più piccolo: 2 · 5 = 10.

È 12. I multipli di 4 sono 4, 8, 12, 16 e quelli di 6 sono 6, 12, 18: il primo in comune è 12. Si arriva allo stesso risultato con il MCD, che è 2: 4 · 6 / 2 = 24 / 2 = 12.

È 21. Il 3 e il 7 sono numeri primi diversi e non hanno divisori comuni a parte 1: quando il MCD è 1 il mcm è il prodotto dei due numeri, 3 · 7 = 21. Lo stesso vale per mcm(3, 5) = 15 e mcm(7, 9) = 63.

È 60. Scomponendo, 4 = 2² mentre 2, 3 e 5 sono primi: di ogni primo si prende l’esponente più grande, quindi mcm = 2² · 3 · 5 = 60. Il 2 non aggiunge nulla, perché divide il 4. Nel calcolatore scegli «4 numeri» e inseriscili.

È 180. I fattori primi sono 4 = 2², 12 = 2² · 3, 10 = 2 · 5 e 9 = 3²; di ogni primo si prende l’esponente più grande: 2² (da 4 e da 12), 3² (da 9) e 5 (da 10). Quindi mcm = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180. Il 4 non cambia il risultato, perché divide il 12.

Per due numeri a e b il prodotto a · b è uguale al prodotto tra il loro mcm e il loro MCD. Quindi il mcm si ricava dividendo a · b per il MCD. Per 8 e 12 il MCD è 4 e il mcm è 8 · 12 / 4 = 24. Con più di due numeri la formula semplice non vale più: si procede a due a due o con i fattori primi.

Sì. Con i fattori primi non cambia nulla: di ogni primo conta l’esponente più grande in uno qualsiasi dei numeri. Per 6, 8 e 10 sono 2³ (da 8), 3 (da 6) e 5 (da 10), quindi mcm = 8 · 3 · 5 = 120. A passi: mcm(6, 8) = 24 e poi mcm(24, 10) = 120. Il calcolatore accetta da due a cinque numeri.

Il mcm di 8 e 12 è 24, quello di 12 e 9 è 36 e quello di 3 e 5 è 15. Il risultato dipende dai fattori primi in comune: 8 e 12 hanno il 2 in comune, 12 e 9 il 3, mentre 3 e 5 non ne hanno e il mcm è il prodotto.

Il mcm è il più piccolo multiplo comune, il MCD il più grande divisore comune. Il mcm è sempre maggiore o uguale al più grande dei numeri, il MCD sempre minore o uguale al più piccolo. Per 12 e 18 il mcm è 36 e il MCD è 6. Per il solo MCD, con le divisioni di Euclide passo per passo, c’è il calcolo del MCD.

Il mcm serve a trovare il denominatore comune quando si sommano o si sottraggono frazioni, il MCD a semplificarle: 36/60 diventa 3/5 dividendo per 12. Servono anche a organizzare eventi che si ripetono con periodi diversi, come autobus che partono ogni 12 e ogni 18 minuti e si ritrovano dopo 36.

Controlla i multipli del numero più grande uno alla volta, finché tutti gli altri lo dividono. Due scorciatoie evitano il calcolo: se un numero è divisore dell’altro, il mcm è il numero più grande (mcm di 6 e 12 è 12); se i due numeri non hanno divisori comuni a parte 1, si moltiplicano (mcm di 7 e 9 è 63).

Lo zero è multiplo di ogni numero, per questo del mcm si cerca il più piccolo multiplo comune positivo. Se tra i numeri c’è lo 0 non esiste un multiplo comune positivo, perché l’unico multiplo di 0 è 0: per convenzione si pone mcm = 0. È un caso di poco interesse pratico, quindi il calcolatore accetta solo interi da 1 in su. Con i numeri negativi si lavora con i valori assoluti: mcm(−4, 6) è uguale a mcm(4, 6).