Area del pentagono e dei poligoni regolari: apotema e perimetro

Si moltiplica il perimetro per l’apotema e si divide per 2: A = P · a / 2 = 5 · l · a / 2. Poiché a = 0,6882 · l, l’area è circa 1,7205 · l². Con il lato di 10 l’apotema è 6,8819 e l’area 172,05. Se conosci il raggio r della circonferenza circoscritta, A ≃ 2,3776 · r². Nel calcolatore lascia n = 5 e scegli il dato che hai.

Dal lato: a = l / (2 · tan 36°) = 0,6882 · l, cioè il lato per il numero fisso del pentagono. Con il lato di 10 è 6,8819. Dal raggio r della circonferenza circoscritta: a = r · (1 + √5) / 4 ≃ 0,809 · r. Dall’area: a = 2 · A / P. Il calcolatore lo trova da qualsiasi dato.

Si divide il lato per il doppio della tangente di 180° / n: a = l / (2 · tan(180° / n)). Equivale a moltiplicare il lato per il numero fisso del poligono. Se conosci il raggio r della circonferenza circoscritta vale a = r · cos(180° / n), se conosci area e perimetro a = 2 · A / P.

Dipende dal poligono. Se è regolare, l’area è il semiperimetro per l’apotema, A = P · a / 2, oppure A = n · l² / (4 · tan(180° / n)). Se non lo è, si divide in triangoli, rettangoli o trapezi di cui si conoscono le misure e si sommano le aree. Questo calcolatore vale per i poligoni regolari da 3 a 100 lati.

Non c’è una formula unica. Dallo stesso vertice si tracciano due diagonali che dividono il pentagono in tre triangoli; si calcola l’area di ciascuno, base per altezza diviso 2, e si sommano. Se conosci le coordinate dei cinque vertici, la formula dell’area di Gauss dà l’area direttamente.

È un poligono convesso con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali: il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono, l’esagono e l’ottagono regolari, per esempio. Ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere in due circonferenze con lo stesso centro; il raggio di quella inscritta è l’apotema.

È il rapporto tra l’apotema e il lato di un poligono regolare, a / l = 1 / (2 · tan(180° / n)): dipende solo dal numero dei lati. Vale 0,2887 per il triangolo equilatero, 0,5 per il quadrato, 0,6882 per il pentagono, 0,8660 per l’esagono, 1,0383 per l’ettagono e 1,2071 per l’ottagono. Moltiplicato per il lato dà l’apotema.

Nella piramide regolare l’apotema è l’altezza di una faccia laterale, dal vertice al punto medio di un lato di base. Con il teorema di Pitagora vale p = √(h² + a²), dove h è l’altezza della piramide e a l’apotema del poligono di base, che si trova con questo calcolatore. Per un quadrato di lato 6 (a = 3) e h = 4 si ha p = √(16 + 9) = 5.

Si sommano le lunghezze di tutti i lati. In un poligono regolare i lati sono uguali e basta moltiplicare il lato per il numero dei lati: P = n · l. Il pentagono regolare di lato 10 ha perimetro 5 · 10 = 50, l’esagono di lato 4 ha 6 · 4 = 24. Se il dato è il perimetro, il lato è P / n.

Per l’ottagono regolare (n = 8) A = 2 · (1 + √2) · l² ≃ 4,8284 · l², con apotema a = l · (1 + √2) / 2 ≃ 1,2071 · l. Con il lato di 10 l’area è 482,84 e l’apotema 12,07. Nel calcolatore imposta n = 8 e scegli il dato che conosci, per esempio il lato.

Dal perimetro: l = P / n. Dal raggio r della circonferenza circoscritta: l = 2 · r · sin(180° / n). Dall’apotema: l = 2 · a · tan(180° / n). Dall’area: l = √(4 · A · tan(180° / n) / n). Il calcolatore esegue questi passaggi quando scegli il dato che hai.

L’angolo interno misura (n − 2) · 180° / n: 60° nel triangolo, 90° nel quadrato, 108° nel pentagono, 120° nell’esagono, 135° nell’ottagono. Le diagonali sono n · (n − 3) / 2: nessuna nel triangolo, 2 nel quadrato, 5 nel pentagono, 9 nell’esagono. Il calcolatore mostra entrambi i valori.