Come si calcola l’altezza di un triangolo: formule e calcolatore

Come funziona il calcolo

L’altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto a quel lato o al suo prolungamento. Ogni triangolo ha tre altezze, una per lato. Il legame con l’area è la formula A = b · h / 2: l’area è la metà del prodotto di un lato, preso come base, per la sua altezza, perché un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza ha un’area doppia (Euclide, Elementi, I.41). Da qui viene la formula più usata, h = 2A / b: se conosci l’area e la base, l’altezza è il doppio dell’area diviso la base.

Se non conosci l’area, la formula dipende dal tipo di triangolo. Nel triangolo equilatero, con tre lati uguali a l, l’altezza lo divide in due triangoli rettangoli e per il teorema di Pitagora vale h = √(l² − (l/2)²) = l · √3 / 2. Nel triangolo isoscele, con base b e due lati uguali l, l’altezza sulla base cade a metà base e vale h = √(l² − b²/4). Nel triangolo rettangolo i cateti sono già altezze, uno rispetto all’altro; l’altezza relativa all’ipotenusa c si ricava dall’uguaglianza delle aree, a · b / 2 = c · h / 2, e quindi h = a · b / c, con c = √(a² + b²).

Con i tre lati di un triangolo qualsiasi si calcola prima l’area con la formula di Erone, A = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c)) dove p è il semiperimetro, poi ogni altezza come 2A diviso il lato. Il calcolatore mostra le tre altezze insieme. È una risposta a chi cerca l’altezza senza conoscere l’area: bastano i tre lati, oppure un lato e l’angolo che forma con la base, perché in quel caso h = lato · sen(angolo). In un triangolo ottusangolo le altezze relative ai due lati vicini all’angolo ottuso cadono fuori dal triangolo, ma la formula 2A / lato vale lo stesso.

Per l’area di un triangolo da lati e angoli c’è il calcolo dell’area del triangolo, che mostra anche le tre altezze. Per l’ipotenusa o un cateto di un triangolo rettangolo c’è il calcolo dell’ipotenusa e per le altre figure il calcolo dell’area. Le misure vanno inserite nella stessa unità: l’altezza viene nella stessa unità dei lati, l’area in unità quadrate. I risultati sono mostrati con al massimo quattro decimali.

La formula

Tutte le formule nascono da due fatti: l’area è A = b · h / 2 e, nei triangoli con un angolo retto o con un asse di simmetria, il teorema di Pitagora lega l’altezza ai lati. Nell’equilatero e nell’isoscele l’altezza sulla base divide la base in due metà, per questo compare b/2 o l/2 sotto radice.

Con tre lati il calcolatore usa la formula di Erone, con lo stesso risultato che si ottiene con il semiperimetro p. Il triangolo deve rispettare la disuguaglianza triangolare: ogni lato è minore della somma degli altri due. Nell’isoscele significa che il lato obliquo deve essere più lungo di metà base; altrimenti compare un messaggio al posto del risultato.