Calcolo logaritmi: log, ln e logaritmo in qualsiasi base
MatematicaScegli che cosa cerchi: il logaritmo di un numero in una base, l’argomento a partire da base e logaritmo, oppure la base. Il calcolatore mostra anche log, ln e log in base 2 dello stesso numero.
Passaggi
ln(8) / ln(2) = 3
- Il logaritmo in base b di x è l’esponente y per cui b^y = x. Con il cambio di base si calcola come y = ln(x) / ln(b).
- Il logaritmo naturale dell’argomento è ln(8) = 2,079442 e quello della base è ln(2) = 0,693147.
- Quindi y = ln(8) / ln(2) = 3.
- Per lo stesso argomento i logaritmi sono: decimale = 0,90309, naturale = 2,079442, in base 2 = 3.
Appena tutti i dati sono validi, qui vedi ogni passaggio del calcolo.
Formula
- x
- argomento, il numero di cui si cerca il logaritmo (x > 0)
- b
- base del logaritmo (b > 0 e b ≠ 1)
- y
- logaritmo, l’esponente a cui elevare la base per ottenere x
- ln
- logaritmo naturale, in base e ≈ 2,71828
Come funziona il calcolo
Il logaritmo in base b di x, scritto log_b(x), è l’esponente y a cui bisogna elevare la base b per ottenere x: y = log_b(x) significa b^y = x. Perché esista servono x > 0, b > 0 e b diverso da 1; non esiste il logaritmo di zero né, nei numeri reali, quello di un numero negativo. Per esempio log₂(8) = 3 perché 2³ = 8, e log₁₀(1000) = 3 perché 10³ = 1000.
Tre basi hanno un nome. La base 10 dà il logaritmo decimale, che nelle scuole italiane si indica di solito con log (la Treccani scrive anche lg o Log). La base e ≈ 2,71828, il numero di Nepero, dà il logaritmo naturale, indicato con ln (la Treccani registra anche log x). La base 2 serve in informatica. Il calcolatore mostra sempre tutti e tre per lo stesso argomento. Alcune regole valgono in ogni base: log_b(1) = 0, log_b(b) = 1, e se b > 1 i numeri tra 0 e 1 hanno logaritmo negativo.
Quando il logaritmo non è esatto si usa il cambio di base: log_b(x) = ln(x) / ln(b), oppure con i logaritmi decimali log(x) / log(b). È quello che fa anche la calcolatrice scientifica, che ha solo i tasti log e ln: log₅(50) = ln 50 / ln 5 ≈ 3,9120 / 1,6094 ≈ 2,4307. Le proprietà dei logaritmi trasformano i prodotti in somme: log(a · c) = log a + log c, log(a / c) = log a − log c e log(a^n) = n · log a.
Le altre due modalità rispondono alle domande inverse. Se conosci base e logaritmo, l’argomento è x = b^y (a volte chiamato antilogaritmo): con b = 2 e y = 10 è 1024. Se conosci argomento e logaritmo, la base è b = x^(1/y): da log_b(81) = 4 segue b = 81^(1/4) = 3. I risultati sono mostrati con al massimo sei decimali. Per le potenze c’è il calcolo delle potenze, per le radici il calcolo della radice quadrata e il calcolo della radice cubica.
La formula
La formula del cambio di base vale perché, se b^y = x, prendendo il logaritmo naturale dei due membri si ottiene y · ln(b) = ln(x), da cui y = ln(x) / ln(b). Lo stesso ragionamento funziona con qualsiasi altra base di partenza, ad esempio quella decimale. Per questo basta una sola funzione logaritmica per calcolare tutte le altre.
Quando l’argomento è una potenza intera esatta della base, il calcolatore restituisce proprio quell’intero: log₃(81) è 4 e non 4,000000000000001, come può capitare con i numeri in virgola mobile. Con i dati fuori dal campo di esistenza (base 1, logaritmo nullo senza base determinabile, risultato fuori scala) compare un messaggio al posto del risultato.
Esempio di calcolo
Quanto vale il logaritmo in base 10 di 3?
- La base 10 dà il logaritmo decimale: si cerca l’esponente y per cui 10^y = 3.
- Con il cambio di base servono i logaritmi naturali: ln(3) = 1,098612 e ln(10) = 2,302585.
- Quindi y = ln(3) / ln(10) = 0,477121.
- Controllo: 10 elevato a 0,477121 dà circa 3. Lo stesso numero ha logaritmo naturale 1,098612 e logaritmo in base 2 pari a 1,584963.
Il logaritmo in base 10 di 3 è 0,477121. Per lo stesso numero il logaritmo decimale è 0,477121, quello naturale 1,098612.
Inserisci l’esempio nel calcolatoreDomande frequenti
Come si calcolano i logaritmi?
Se l’argomento è una potenza esatta della base basta la definizione: log₂(8) = 3 perché 2³ = 8. Negli altri casi si usa il cambio di base, log_b(x) = ln(x) / ln(b), con una calcolatrice scientifica o con questo calcolatore: log₅(50) = ln 50 / ln 5 ≈ 2,4307.
Quanto è il logaritmo di 3?
Dipende dalla base. In base 10 è circa 0,4771 (perché 10^0,4771 ≈ 3), in base e, cioè il logaritmo naturale, è circa 1,0986, in base 2 circa 1,585. Il calcolatore mostra i tre valori per qualsiasi numero positivo.
Qual è il logaritmo di 10?
In base 10 è esattamente 1, perché 10¹ = 10. Il logaritmo naturale di 10 vale circa 2,3026 e quello in base 2 circa 3,3219. In generale il logaritmo di un numero nella sua stessa base è sempre 1.
Qual è il logaritmo di 4?
In base 2 è esattamente 2, perché 2² = 4. In base 10 vale circa 0,6021 e in base e circa 1,3863. Ricorda che il valore cambia con la base: senza indicarla, log 4 di solito è il logaritmo decimale.
Che differenza c’è tra log e ln?
log indica di solito il logaritmo decimale, in base 10, e ln il logaritmo naturale, in base e ≈ 2,71828. Nelle scuole italiane è la convenzione più diffusa, ma la Treccani registra che il logaritmo naturale si scrive anche log x: se un testo non dichiara la base, controlla come la usa.
Come si calcola un logaritmo senza calcolatrice?
Per le potenze esatte usa la definizione: log₃(81) = 4. Per gli altri numeri combina valori noti con le proprietà: con log 2 ≈ 0,30103 e log 3 ≈ 0,47712 ottieni log 6 = 0,30103 + 0,47712 = 0,77815 e log 5 = 1 − 0,30103 = 0,69897, perché 5 = 10 / 2.
Si può calcolare il logaritmo di un numero negativo o di zero?
Nei numeri reali no: x deve essere maggiore di zero, perché nessun esponente reale rende una potenza positiva uguale a zero o a un numero negativo. Il calcolatore non accetta questi argomenti. Anche la base deve essere positiva e diversa da 1, perché 1 elevato a qualsiasi esponente resta 1.
Quanto vale il logaritmo di 1?
Zero, in qualsiasi base valida: b⁰ = 1 per ogni b. Anche log_b(b) = 1 vale sempre, perché b¹ = b. Questi due valori sono la base da cui partono tutte le altre regole.
Come si trova l’argomento o la base di un logaritmo?
Dalla definizione b^y = x. L’argomento è x = b^y: con base 2 e logaritmo 10 si ottiene 1024. La base è b = x^(1/y): se il logaritmo di 81 vale 4 la base è 81^(1/4) = 3. Nel calcolatore scegli «Argomento» o «Base».
Come funziona il cambio di base?
Si passa da una base a un’altra dividendo due logaritmi della stessa base qualsiasi: log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b). Serve perché le calcolatrici hanno solo log e ln. Esempio: log₂(10) = ln 10 / ln 2 = 2,3026 / 0,6931 ≈ 3,3219.